Для якої випадкової величини \(\xi\) нерівність Чебишова \[P\{|\xi-M\xi|\ge \varepsilon\}\le \frac{D\xi}{\varepsilon^2}\] може перетворюватися на рівність?

Позначимо \(a=M\xi\). Нерівність Чебишова випливає з нерівності \[ (\xi-a)^2\ge \varepsilon^2\mathbf I_{\{|\xi-a|\ge \varepsilon\}}, \] де \(\mathbf I_A\) — індикатор події \(A\). Взявши математичне сподівання від обох частин, одержуємо \[ M(\xi-a)^2\ge \varepsilon^2M\mathbf I_{\{|\xi-a|\ge \varepsilon\}} =\varepsilon^2P\{|\xi-a|\ge \varepsilon\}. \] Оскільки \(M(\xi-a)^2=D\xi\), то \[ D\xi\ge \varepsilon^2P\{|\xi-a|\ge \varepsilon\}, \] або \[ P\{|\xi-a|\ge \varepsilon\}\le \frac{D\xi}{\varepsilon^2}. \]

Рівність у нерівності Чебишова має місце тоді й лише тоді, коли \[ (\xi-a)^2=\varepsilon^2\mathbf I_{\{|\xi-a|\ge \varepsilon\}} \] майже напевно. Якщо \(|\xi-a|<\varepsilon\), то права частина дорівнює нулю, звідки \((\xi-a)^2=0\), тобто \(\xi=a\). Якщо ж \(|\xi-a|\ge \varepsilon\), то права частина дорівнює \(\varepsilon^2\), тому \((\xi-a)^2=\varepsilon^2\), звідки \[ \xi=a+\varepsilon \qquad\text{або}\qquad \xi=a-\varepsilon. \] Отже, \[ P\{\xi\in\{a-\varepsilon,a,a+\varepsilon\}\}=1. \]

Позначимо \[ P(\xi=a+\varepsilon)=p_1,\qquad P(\xi=a-\varepsilon)=p_2. \] Тоді \[ P(\xi=a)=1-p_1-p_2. \] Оскільки \(M\xi=a\), маємо \[ a=(a+\varepsilon)p_1+(a-\varepsilon)p_2+a(1-p_1-p_2). \] Після розкриття дужок та скорочення на \(a\): \[ \varepsilon(p_1-p_2)=0, \] тобто \(p_1=p_2=p\). Таким чином, \[ P(\xi=a+\varepsilon)=P(\xi=a-\varepsilon)=p,\qquad P(\xi=a)=1-2p,\qquad 0\le p\le \frac12. \]

Отже, випадкова величина \(\xi\) повинна мати ряд розподілу

Перевіримо, що для такого розподілу нерівність Чебишова дійсно перетворюється на рівність. Маємо \[ D\xi=M(\xi-a)^2. \] Оскільки при \(\xi=a-\varepsilon\) та \(\xi=a+\varepsilon\) \[ (\xi-a)^2=\varepsilon^2, \] а при \(\xi=a\) \[ (\xi-a)^2=0, \] то \[ D\xi =\varepsilon^2\cdot p+0\cdot(1-2p)+\varepsilon^2\cdot p =2p\varepsilon^2. \] Далі, \[ P\bigl(|\xi-a|\ge\varepsilon\bigr) = p+p = 2p. \] З іншого боку, \[ \frac{D\xi}{\varepsilon^2} = \frac{2p\varepsilon^2}{\varepsilon^2} = 2p. \] Отже, \[ P\bigl(|\xi-a|\ge\varepsilon\bigr) = \frac{D\xi}{\varepsilon^2}, \] тобто нерівність Чебишова перетворюється на рівність.

Відповідь: Нерівність Чебишова є рівністю тоді й лише тоді, коли випадкова величина \(\xi\) має розподіл \[ P(\xi=a-\varepsilon)=p,\qquad P(\xi=a)=1-2p,\qquad P(\xi=a+\varepsilon)=p, \] де \(a=M\xi\) та \(0\le p\le \frac12\).