Моделі росту чисельності населення

Задача 1.1. (Задача Фібоначчі) В початковий момент \(t = 0\) є одна пара дорослих кролів. Знайти число пар всіх кролів в довільний момент часу \(t\), якщо кожна доросла пара на кожному кроці народжує пару молодих, а молоді стають дорослими за одиницю часу.

Задача 1.2. В початковий момент \(t = 0\) є 2 пари дорослих кролів. Знайти число пар дорослих кролів в довільний момент часу \(t\), якщо кожна доросла пара на кожному кроці народжує 4 пари молодих, а молоді стають дорослими за 2 одиниці часу.

Задача 1.3. Визначити чисельність населення \(x(t)\) з показником \(k = k(x)\), де:

• а) \(k(x) = L - x\),
• б) \(k(x) = L^a - x^a \quad (a > 0)\),
• в) \(k(x) = \ln(L/x)\).

Задача 1.4. В моделі «демографічного вибуху» знайти залежність між початковим значенням кількості населення \(x_0\) і моментом вибуху \(T\).

Задача 1.5. Довести, що в моделі «з запізненням» \[x'(t) = f(x(t - \varepsilon)), \quad \varepsilon > 0,\] де \(f\) – функція, що обмежена на кожному відрізку, а \(x(t)\) обмежена при \(t \leq 0\), «вибух» неможливий (тобто неможливим є досягнення нескінченного значення за скінченний час).

Задача 1.6. Маємо дві моделі росту чисельності населення Землі:

• 1) гіперболічна: \(x(t) = \dfrac{C_1}{T_1 - t}, \;t < T_1\) при \(C_1 = 2 \cdot 10^{11}\), \(T_1 = 2025\),
• 2) тригонометрична: \(y(t) = \dfrac{C_2}{\tau} \mathrm{arcctg} \dfrac{T_2 - t}{\tau}\) при \(C_2 = 1.85 \cdot 10^{11}\), \(T_2 = 2005\), \(\tau = 45\).

• а) прогноз на 2000 рік в обох моделях,
• б) момент проходження рівня 10 млрд. в обох моделях,
• в) найбільшу розбіжність в прогнозах до 1975 року,
• г) граничне значення чисельності в тригонометричній моделі,
• д) яка з моделей краще відповідає даним таблиці?

Задача 1.7. Маємо 2 ізольовані популяції, що ростуть експоненційно з показниками 0,2% і 2% (в рік). В початковий момент часу співвідношення їхніх кількостей 2:1.

• а) Знайти співвідношення чисельностей через 10 років.
• б) Коли чисельності популяцій зрівняються?

Задача 1.8. Маємо 2 ізольовані популяції, що ростуть експоненційно з показниками -2% і +2% (в рік). В початковий момент часу їхні чисельності 100 і 10 млн. чол. Знайти мінімум сумарної чисельності і відповідний момент часу.

Задача 1.9. Популяція експоненційно росте з показником \(k\), який оцінюється відносною похибкою \(\varepsilon\). За початковою умовою \(x_0\) роблять прогноз на \(t\) років вперед. Знайти інтервал можливих значень для \(x(10)\), якщо \(x_0 = 100\) млн. чол., \(k = 0.01\) (в рік), \(\varepsilon = 0.1\).

Задача 1.10. Нехай показник росту \(k\) є випадковою величиною. Знайти середню чисельність населення \(x_a(t)\), якщо

• а) \(k\) набуває значень \(k_1, \dots, k_n\) з імовірностями \(p_1, \dots, p_n\);
• б) \(k\) має нормальний розподіл \(\mathcal{N}(k_0, \sigma^2)\);
• в) \(k\) має показниковий розподіл з параметром \(k_0\).

Задача для самостійного розв’язання

Задача 1.11. В початковий момент \(t = 0\) є дві пари дорослих кролів. Знайти число пар всіх кролів в довільний момент часу \(t\), якщо кожна доросла пара на кожному кроці народжує шість пар молодих, а молоді стають дорослими за одиницю часу.