Моделі смертності

Задача 2.1. Знайти функцію доживання і середню тривалість майбутнього життя в наступних моделях смертності (при \(0 \le x < b\)):

• а) \(\mu(x) = a/(b - x)\),
• б) \(\mu(x) = \begin{cases} c/(l + x), & x < x_0 \\ a/(b - x), & x \ge x_0 \end{cases} \quad (c < 1)\).

Задача 2.2. Нехай \(\mu(x) = a/(b - x)\), \(0 \le x < b\), і середня тривалість життя 60 років. Знайти ймовірність доживання і середню тривалість майбутнього життя у віці \(y\) років, якщо:

• а) \(a = 1/2\), \(y = 50\),
• б) \(b = 90\), \(y = 80\).

Задача 2.3. Нехай \(F(x) = (x/b)^a\), \(0 \le x \le b\), \(a > 0\). Знайти силу смертності і середню тривалість майбутнього життя. Знайти ймовірність доживання і середню тривалість майбутнього життя у віці \(y\) років, якщо:

• а) \(y = 45,\; b = 90,\; T_0 = 72\) (роки),
• б) \(y = 54,\; a = 2,\; T_0 = 60\) (років).

Задача 2.4. В моделі смертності Хелiгмена-Поларда (link) покладають \[\mu(x) = A^{(x + B)^C} + De^{-E(\ln x - \ln F)^2} + G H^x / (1 + G H^x).\] Нехай \(A = 0.0088\), \(B = 0.3707\), \(C = 0.2864\), \(D = 0.0008\), \(E = 8.37\), \(F = 25.5\), \(G = 0.0002\), \(H = 1.0834.\) Знайти силу смертності у віці: а) 40 років, б) 60 років, в) 80 років.

Задача 2.5. За силою смертності \(\mu(x) = a + be^x\) (модель Гомпертца-Мейкхема (link)):

• а) знайти функцію доживання,
• б) знайти \(l(90)\), якщо \(a = 0,\; l(40) = 0.9\) і \(l(80) = 0.11\).

Задача 2.6. Для трьох груп населення А, В і С є три причини смерті (1, 2 і 3). На групу А діють 1 і 2, на В – 1 і 3, на С – 2 і 3. Відомі сили смертності за групами \(d_A, d_B, d_C\) і функції доживання \(l_A(x), l_B(x), l_C(x)\). Знайти сили смертності за причинами \(d_1, d_2, d_3\) і відповідні їм функції доживання.

Задача 2.7. Нехай в умовах задачі 2.6 \(d_A = 3\)‰, \(d_B = 4\)‰, \(d_C = 5\)‰. Знайти очікувану сумарну смертність груп, де діють всі три причини, якщо вплив першої із них вдасться зменшити на 10%.

Задача 2.8. Отримати наступне диференційне рівняння: \[M'(y) = \mu(y)M(y) - 1.\]

Задача 2.9. Довести наступну формулу (в моделі з неперервним часом): \[M(y_1) = e^{D(y_1)}\int_{y_1}^{y_2} e^{-D(u)} du + e^{D(y_1)-D(y_2)}M(y_2)\] для довільних \(y_1 < y_2\). Як зміниться ця формула, якщо сила смертності є сталою на інтервалі \((y_1, y_2)\)? Як виразити \(M(y_2)\) через \(M(y_1)\)?

Задача 2.10. Знайти \(M(25)\), якщо \(M(20) = 48\) (років) і сила смертності у віці 20-24 років складає \(3\)‰(в рік). Який приріст сумарної тривалості життя на цьому віковому відрізку?

Задача 2.11. Оцінити середню тривалість життя чоловіків, жінок і всього населення (з точністю до року), спираючись на наступні табличні дані:

Задача 2.12. Оцінити середню тривалість майбутнього життя для чоловіків, жінок і всього населення у віці 60 років (з точністю до року), спираючись на дані попередньої задачі 2.11.

Задача 2.13. За даними таблиці визначити, в яких вікових групах смертність всього населення зросла більше, ніж на 50%.

Задача 2.14. Дано дві групи населення А і В зі значеннями середньої тривалості життя 60 і 70 років відповідно, причому їхні чисельності відносяться як 6:4. Знайти середню тривалість життя всього населення (яке складається лише з представників цих двох груп). Як вона зміниться, якщо співвідношення чисельностей груп буде 8:2, а середня тривалість життя в кожній групі зросте на 1 рік?

Задача 2.15. За даними таблиці визначити домінуючу причину смертності в кожній віковій групі

Задача 2.16. За даними таблиці задачі 2.11. для чоловіків і жінок знайти ймовірності:

• а) дожити до 60 років, перебуваючи у віці 20 років,
• б) дожити до 80 років, перебуваючи у віці 60 років.

Задача 2.17. Нехай функції розподілу тривалості життя мають загальний вид \(F(x) = (x/90)^a\), \(0 \le x \le 90\), а середні для чоловіків і жінок складають 60 і 72 роки. Знайти ймовірність того, що із випадково відібраних чоловіка і жінки одного року народження чоловік помре раніше.

Задача 2.18. В моделі смертності У.Браса (link) вважається, що \[\mathrm{logit}\,F(x) = \alpha + \beta\,\mathrm{logit}\,F_0(x),\quad \mathrm{logit}\,u = \frac{1}{2}\ln\frac{u}{1-u}.\] де \(F_0(x)\) – деяка «стандартна» функція розподілу тривалості життя. При \(\alpha = -1,\; \beta = 1\) за даними таблиці знайти ймовірності дожити до а) 45, б) 55, в) 65 років.

Задача 2.19. У місті з населенням в 0,5 млн. чол. смертність складає 2% в рік. Побудувати 95%-довірчий інтервал для кількості смертей за рік.